У меня непростые отношения с матанализом: с одной стороны он демонстрирует всю красоту и мощь математики, а с другой — агонию математического образования.
Математический анализ связывает различные темы в элегантной, но довольно сложной для ума манере. Ближайшая аналогия, которая приходит мне на ум, — Дарвиновская теория эволюции: стоит ее понять, и весь мир видится с позиции выживания. Вы понимаете, почему лекарства привели к резистентным микробам (выживает наиболее приспособленный). Вы понимаете, почему сахар и жир сладкие на вкус (вкус стимулирует потребление высококалорийных продуктов в условиях дефицита резервов организма). И все эти моменты складываются в единую, логическую картину.
Матанализ таким же образом проливает свет на всю систему математики. Не кажется ли вам, что все эти формулы как-то связаны?
Так и есть. Но большинство из нас изучают эти формулы независимо друг от друга. Математический анализ позволяет начать с «длина окружности = 2 * π * r» и вывести остальные формулы для вычисления площади круга, сферы и даже объема шара — древним грекам очень бы пригодился подобный подход.
К сожалению, матанализ олицетворяет собой все трудности в изучении математики. Большинство уроков объясняются на натянутых, неправдоподобных примерах, заумных доказательствах и банальном заучивании, которое напрочь убивает интуицию.
Так действительно не должно происходить.
Математика, искусство и идеи
Кое-что я понял еще со школы: математика — не самая сложная часть математики; самое тяжелое — мотивация к ее освоению. Особенно, умение не терять энтузиазм, несмотря на:
- Преподавателей, больше сконцентрированных на штамповке публикаций и своей карьере, чем на преподавании
- Небеспочвенные опасения, что математика — это сложно, скучно, непопулярно или «не ваш предмет»
- Учебники и учебные планы, больше нацеленные на получение прибыли и хорошую статистику по тестированиям знаний, чем на пояснение сущности предмета.
‘Плач математика’ [pdf] — отличное эссе на эту тему, которое вызвало бурный резонанс среди многих прочитавших его:
«…если бы мне пришлось создавать механизм с единственной целью разрушить природное любопытство ребенка и его любовь к моделированию, вряд ли бы у меня получилось лучше, чем это уже реализовано — у меня бы просто не хватило фантазии, чтобы тягаться с такими бесчувственными, унылыми идеями, которые воплощены в современных методах изучения математики».
Представьте изучение изобразительного искусства так: Детки, никакого рисования в детском садике. Вместо этого, давайте-ка изучим химию лакокрасочных изделий, физику света и анатомию глаза. После 12 лет изучения этих аспектов, если дети (точнее уже подростки) всё еще не возненавидят искусство, они смогут начать рисовать самостоятельно. В конечном итоге, они теперь владеют полноценным фундаментом для того, чтобы начать уважать искусство. Верно?
Также и с поэзией. Представьте изучение этой цитаты (формулы):
«Но главное: будь верен сам себе; Тогда, как вслед за днем бывает ночь, Ты не изменишь и другим.» —Вильям Шекспир, Гамлет
Это элегантный способ сказать «будь собой» (и если это означает непочтительно писать о математике, пусть будет так). Но если бы мы рассматривали поэзию на уроке математики, вместо поиска смысла мы бы занялись подсчётом количества слогов, анализировали пятистопный ямб, разметкой существительных, глаголов и прилагательных.
Математика и поэзия — это как разные способы пояснить, охарактеризовать одно и то же. Формулы — это средства к достижению цели, способ выражения математической истины.
Мы забыли, что математика оперирует идеями, это не машинальное маниппулирование формулами, которые выражают эти идеи.
Ну это всё понятно, так в чем же твоя великая мысль?
Вот, что я не буду делать: я не буду пересказывать уже написанные учебники. Если вам нужны ответы здесь и сейчас, есть масса вебсайтов, видеоуроков и 20-минуток в помощь.
Вместо этого давайте освоим основные положения матанализа. Уравнений недостаточно — я хочу моментов озарения, чтобы вы действительно видели их смысл и понимали язык математики.
Формальный математический язык — это просто способ коммуникации. Графики, информативные анимированные модели и разговор простым языком могут дать больше знаний, чем целая страница заумных доказательств.
Но матанализ — это сложно!
Я думаю, что любой человек сможет понять основные положения матанализа. Нам не обязательно быть поэтами, чтобы наслаждаться произведениями Шекспира.
Вам будет гораздо проще, если вы знаете алгебру и интересуетесь математикой. Не так давно, чтение и письмо были работой специально обученных писцов. А сегодня это может сделать любой 10-летний ребенок. Почему?
Потому что мы этого ожидаем. Ожидания играют огромную роль в развитии возможностей. Так что ожидайте, что матанализ — это просто еще один предмет. Некоторые люди доходят до мельчайших подробностей (писатели/математики). Но остальные из нас могут просто восторгаться происходящим и попытаться его понять. Я бы хотел, чтобы каждый освоил основные понятия матанализа и сказал «Вот это да!».
Так о чем же матанализ?
Некоторые определяют матанализ как «область математики, которая изучает пределы, дифференцирование, интегрирование функций с одной или более переменных». Это определение верно, но оно совсем не полезно для новичков.
Вот мой ход: Матанализ делает с алгеброй то, что алгебра сделала с арифметикой.
- Арифметика — это манипуляция числами (сложение, умножение и т.д.).
- Алгебра находит связи между числами: a2 + b2 = c2 — очень известная связь, описывающая соотношение сторон в прямоугольном треугольнике. Алгебра находит целые наборы чисел — если вы знаете a и b, вы можете вычислить и c.
- Матанализ находит связи между уравнениями: вы можете видеть, как одно уравнение (длина окружности = 2 * π * r) связано с другим (площадь круга = π * r2).
Используя матанализ, мы можем спросить самые разные вопросы:
- Как уравнение растет и сокращается? Наращивается со временем?
- Когда оно достигнет самой высокой/низкой точки?
- Как мы используем переменные, которые постоянно меняются? (Тепло, движение, популяции, …).
- И многое, многое другое!
Алгебра и матанализ решают задачи вместе: матанализ находит новые уравнения, а алгебра их решает. Как эволюция, матанализ расширяет ваше понимание того, как работает матушка-природа.
Пример, пожалуйста
Представим, что мы знаем уравнение длины окружности (2 * π * r), и нам нужно найти площадь. С чего начнем?
Представьте, что заполненный диск круга — это как набор матрешек.
Тут есть два способа нарисовать этот диск:
- Нарисовать окружность и закрасить ее
- Нарисовать набор колец толстым маркером
Количество «пространства» (площадь) должно быть одинаковым в обоих случаях, верно? И сколько пространства занимает кольцо?
Самое большое кольцо имеет радиус «r», и длина окружности кольца вычисляется как 2 * π * r. По мере того, как кольца уменьшаются, окружность также становится меньше, но всё равно сохраняется соотношение 2 * π * текущий радиус. Последнее кольцо больше похоже на булавочную головку, и длину окружности уже не вычислишь.
А теперь начинается самое интересное. Давайте раскрутим эти кольца и выровняем их. Что произойдет?
- У нас получится набор линий, который составит зубчатый треугольник. Но если взять более тонкие кольца, то треугольник становится уже менее зубчатым (об этом мы еще поговорим в других статьях).
- С одной стороны будет самое маленькое кольцо (0), а с другой — самое большое (2* π * r)
- Кольца имеют радиусы от 0 до «r». Для каждого возможного радиуса из этого диапазона (от 0 до r), мы просто помещаем раскрученное кольцо на свое место.
- Общая площадь «кольцевого треугольника» = 1/2 основания * высоту = 1/2 * r *(2 * π * r) = π * r2, а это и есть формула поиска площади круга!
Ух ты! Общая площадь колец = площадь треугольника = площадь круга!
Это был простой пример, но вы уловили основную идею? Мы взяли диск, разделили его, и сложили части вместе немного другим путем. Матанализ показал, что диск и кольцо тесно связаны друг с другом: диск — это действительно набор колец. Это очень популярная тема в матанализе: Большие предметы состоят из более мелких предметов. И иногда именно с этими мелкими предметами работается проще и понятнее.
Немного о примерах
Множество примеров в матанализе основано на физике. Это, конечно, замечательно, но бывает сложно их воспринимать: честно, далеко не всегда удается держать в голове разные физические формулы вроде формулы скорости объекта.
Я предпочитаю начать с простых визуальных примеров, потому что именно так и работает наш мозг. Кольцо/круг, которое мы исследовали — вы бы могли смоделировать то же самое из нескольких отрезков трубок разного диаметра: разделить их, выровнять и уложить в грубый треугольник, чтобы убедиться, что математика действительно работает. С простой физической формулой такое вряд ли удастся провернуть.
Немного о математической строгости (для фанатиков этой науки)
Я чувствую, как математики-педанты жгут свои клавиатуры. Поэтому я вставлю всего несколько слов о «строгости». Знаете ли вы, что мы не учим матанализ способами, которыми его открыл Ньютон или Лейбниц? Они использовали интуитивные идеи «флюксии» и «бесконечно малых величин», которые были заменены пределами, потому что «Конечно, это работает на практике. Но работает ли это в теории?».
Мы создали сложные механические модели, чтобы «точно» доказать матанализ, но мы утратили интуитивное восприятие предмета в процессе таких доказательств.
Мы смотрим на сладость сахара с точки зрения химии мозга, вместо того, чтобы пояснять это языком науки «В сахаре много энергии. Ешьте его».
Я не хочу (и не могу) преподавать матанализ студентам или обучать ученых. Но будет ли плохо, если каждый сможет понимать матанализ на том «неточном» уровне, на котором его понимал Ньютон? Чтобы это также изменило мир для вас, как когда-то изменило для него?
Преждевременная концентрация на точности рассредоточивает учеников и делает математику сложной для изучения. Вот хороший пример: число е технически определено пределом, но открыто оно было именно с помощью интуитивной догадки о росте. Натуральный логарифм может выглядеть как интеграл, или время, которому нужно расти. Какие объяснения лучше помогут новичкам?
Давайте немного порисуем от руки, а в химию погрузимся уже по ходу дела. Приятных вычислений.
(P.S: Один любезный читатель создал анимированное слайд-шоу powerpoint, которое помогает презентовать эту идею более наглядно (лучше посмотреть ее в PowerPoint, там будут видны анимации). Спасибо!)
Перевод статьи «A Gentle Introduction To Learning Calculus»
