Основы тригонометрии можно описать простыми формулами:
синус = противоположный катет / гипотенуза косинус = прилежащий катет / гипотенуза тангенс = противоположный катет / прилежащий катет
Такая формула тангенса раскрывает само понятие тангенса также ясно, как и формула x2 + y2 = r2 описывает круг.
Конечно, если вы — вычислительная машина, то такого уравнения будет вполне достаточно. Другим же людям с обычным мозгом, который наполовину занят обработкой зрительных образов, любое понятие необходимо визуализировать. Только так сухая пропорция приобретает смысл.
Я думаю, вы заслуживаете больше, чем это. Вот мой ключ к тригонометрии:
- Нарисуйте купол, стену и потолок
- Тригонометрические функции — это не что иное, как процентное отношение этих трех форм.
Метафора для синуса и косинуса: купол
Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.
Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.
Угол, на который вы указываете, определяет:
- синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
- косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
- гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола
Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.
Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.
Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.
Синус и косинус — это проценты
Никто в годы моей учебы, увы, не объяснил мне, что тригонометрические функции синус и косинус — это не что иное, как проценты. Их значения варьируются от +100% до 0 и до -100%, или от положительного максимума до нуля и до отрицательного максимума.
Скажем, я заплатил налог 14 рублей. Вы не знаете, насколько это много. Но если сказать, что я заплатил 95% в качестве налога, вы поймете, что меня просто ободрали, как липку.
Абсолютная высота ни о чем не говорит. Но если значение синуса составляет 0.95, то я понимаю, что телевизор висит почти на верхушке вашего купола. Очень скоро он достигнет максимальной высоты по центру купола, а затем начнет снова снижаться.
Как мы можем вычислить этот процент? Очень просто: поделите текущее значение высоты экрана на максимально возможное (радиус купола, который также называют гипотенузой).
Вот почему нам говорят, что “косинус = противоположный катет / гипотенуза”. Это всё для того, чтобы получить процент! Лучше всего определить синус как “процент текущей высоты от максимально возможной”. (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает “под землю”. Косинус становится отрицательным, если угол указывает на точку купола позади вас).
Давайте упростим расчеты, предположив, что мы находимся в центре единичной окружности (радиус = 1). Мы можем пропустить деление и просто взять синус, равный высоте.
Каждая окружность, по сути, является единичной, увеличенной или уменьшенной в масштабе до нужного размера. Поэтому определите связи наединичной окружности и примените результаты к вашему конкретному размеру окружности.
Поэкспериментируйте: возьмите любой угол и посмотрите, какое процентное соотношение высоты к ширине он отображает:
График роста значения синуса — не просто прямая линия. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (с 80°до 90°) покрывают всего 2%.
Так вам станет понятнее: если идти по кругу, при 0° вы подымаетесь почти вертикально, но по мере подхода к верхушке купола, высота изменяется всё меньше и меньше.
Тангенс и секанс. Стена
Однажды сосед построил стену прямо впритык к вашему куполу. Плакали ваш вид из окна и хорошая цена для перепродажи!
Но можно ли как-то выиграть в этой ситуации?
Конечно, да. А что, если мы повесим киноэкран прямо на соседскую стену? Вы нацеливаетесь на угол (х) и получаете:
- тангенс(x) = tan(x) = высота экрана на стене
- расстояние от вас до стены: 1 (это радиус вашего купола, стена никуда не двигается от вас, верно?)
- секанс(x) = sec(x) = “длина лестницы” от вас, стоящего в центре купола, до верхушки подвешенного экрана
Давайте уточним пару моментов касательно тангенса, или высоты экрана.
- он начинается на 0, и может подниматься бесконечно высоко. Вы можете растягивать экран все выше и выше на стене, чтобы получить просто бесконечное полотно для просмотра любимого фильма! (На такой огромный, конечно, придется прилично потратиться).
- тангенс — это просто увеличенная версия синуса! И пока прирост синуса замедляется по мере продвижения к верхушке купола, тангенс продолжает расти!
Секансу тоже есть, чем похвастаться:
- cеканс начинается с 1 (лестница лежит на полу, от вас к стене) и начинает подниматься оттуда
- cеканс всегда длиннее тангенса. Наклоненная лестница, с помощью которой вы вешаете свой экран, должна быть длиннее, чем сам экран, верно? (При нереальных размерах, когда экран оооочень длинный, и лестницу нужно ставить практически вертикально, их размеры почти одинаковы. Но даже тогда секанс будет чуточку длиннее).
Помните, значения являются процентами. Если вы решили повесить экран под углом 50 градусов, tan(50)=1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние к стене (радиус купола).
(Введите x=0 и проверьте свою интуицию — tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)
Котангенс и косеканс. Потолок
Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)
Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:
- вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
- котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
- косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу
Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.
Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:
- eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
- cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).
Визуализируйте связи
Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:
Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс — это полное расстояние от вас до крыши).
Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:
Из теоремы Пифагора (a2 + b2 = c2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).
Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.
Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.
Не стоит забывать о других углах
Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:
Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.
(Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).
Подытожим: что нам нужно запомнить?
Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:
- тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
- аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
- результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.
Вам не нужно запоминать формулы, типа 12 + cot2 = csc2. Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.
Далее мы узнаем о графиках, дополнениях и использовании формулы Эйлера для поиска новых связей.
Приложение: обратные функции
Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.
Обратная тригонометрическая функция записывается как sin-1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.
Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?
Пойдем дальше: обратный секанс — это как? Очень часто такой функции нет в калькуляторах.
В нашей табличке пропорций можно найти соотношение, где секанс делится на 1. Например, секанс на 1 (гипотенуза к горизонтали) будет равно 1 поделить на косинус:
Допустим, наш секанс равен 3.5, т.е. 350% от радиуса единичной окружности. Какому углу наклона к стене это значение соответствует?
Приложение: Несколько примеров
Пример: Найти синус угла x.
Скучная задачка. Давайте усложним банальное “найти синус” до “Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?”.
Во-первых, заметьте, что треугольник повернут. В этом нет ничего страшного. Всё также у треугольника есть высота, она на рисунке указана зеленым.
А чему равна гипотенуза? По теореме Пифагора, мы знаем, что:
32 + 42 = гипотенуза2 25 = гипотенуза2 5 = гипотенуза
Хорошо! Синус — это процент высоты от самой длинной стороны треугольника, или гипотенузы. В нашем примере синус равен 3/5 или 0.60.
Далее: Находим угол.
Конечно, мы можем пойти несколькими путями. Теперь мы знаем, что синус равен 0.60, и мы можем просто найти арксинус:
asin(0.6)=36.9
А вот еще один подход. Заметьте, что треугольник стоит “лицом к лицу к стене”, так что вместо синуса мы можем использовать тангенс. Высота равна 3, расстояние стене — 4, так что тангенс равен ¾ или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы из процентного значения вернуться обратно в угол:
tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9
Пример: А доплывете ли вы до берега?
Вы в лодке, и у вас есть достаточно топлива, чтобы проплыть 2 км. Сейчас вы находитесь в 0.25 км от берега. Под каким максимальным углом к берегу вы можете доплыть до него так, чтобы хватило топлива? Дополнение к условию задачи: у нас в наличии есть только таблица значений арккосинусов.
Что мы имеем? Береговую линию можно представить как “стену” в нашем знаменитом треугольнике, а “длину лестницы”, приставленной к стене — максимально возможным преодолимым расстоянием на лодке к берегу (2 км). Вырисовывается секанс.
Сначала, нужно перейти на проценты. У нас есть 2 / 0.25 = 8, то есть мы можем проплыть расстояние, в 8 раз больше прямой дистанции до берега (или до стены).
Возникает вопрос “Чему равен секанс 8?”. Но мы не можем дать на него ответ, так как у нас есть только арккосинусы.
Мы используем наши ранее выведенные зависимости, чтобы привязать секанс к косинусу: “sec/1 = 1/cos”
Секанс 8 равен косинусу ⅛. Угол, косинус которого ⅛ равен acos(1/8) = 82.8. И это самый большой угол, который мы можем себе позволить на лодке с указанным количеством горючего.
Неплохо, правда? Без аналогии с куполом-стеной-потолком, я бы запутался в куче формул и вычислений. Визуализация задачи сильно упрощает поиск решения, к тому же, интересно увидеть, какая тригонометрическая функция в итоге поможет.
При решении каждой задачи думайте следующим образом: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?
И тригонометрия станет куда приятнее. Легких вам вычислений!
Перевод статьи "How To Learn Trigonometry Intuitively".
