Экспонента и число е — деньги как пример

В прошлой статье "Экспонента и число е: просто и понятно" мы рассмотрели понятие экспоненциального роста на примере базовой системы, которая удваивается за определенный период времени.

Но деньги меняют все

С деньгами дела обстоят по-другому. Как только мы зарабатываем пару монет прибыли, эти монетки начинают приносить свои микро-прибыли. Нет необходимости ждать, пока набежит целый рубль — свежим денежкам совсем не нужно дозревать, чтобы начать плодоносить.

Основываясь на нашей старой формуле, прирост процента выглядит примерно так:

 

Но опять же, это не совсем правильно: вся сумма процента появляется в последний день. Давайте посмотрим поближе и разделим год на два промежутка. Мы зарабатываем 100% прибыль каждый год, или по 50% каждые 6 месяцев. Таким образом, мы заработаем 50 копеек в первые полгода, и другие 50 копеек во вторую половину года:

И все равно, это неверно! Конечно, наш рубль-родитель (Синий кружок) зарабатывает рубль в течение года. Но после 6 месяцев мы получим 50-копеечный кусочек прибыли – готовые деньги, которыми мы пренебрегаем! Эти 50 копеек уже могли бы зарабатывать свои собственные деньги:

Поскольку наш коэффициент равен 50% каждые полгода, эти 50 копеек могли бы заработать еще 25 копеек (50% от 50 копеек). В конце года мы бы получили:

  • Наш начальный рубль (Синий кружок)
  • Рубль, который заработал Синий (Зеленый кружок)
  • 25 копеек, которые заработал Зеленый (Красный кружок)

Если все сложить, получится 2,25 рублей. Мы заработали 1,25 рубля всего на одном исходном рубле, и это даже лучше, чем удвоение!

Вернемся к формуле. Рост за два полу-периода по 50% составит:

рост = (1+100%/2)= 2,25

 

Переходим на составной рост

Идем дальше. Давайте поделим рост не на два периода по 50%, а на 3 сегмента по 33% каждый. Кто сказал, что надо ждать целых 6 месяцев до начала получения прибыли? Давайте детализируем наши вычисления.

Вот так выглядит наш рост, расписанный на 3 составных периода:

число е

Каждый отдельный цвет обозначает определенное «поколение» прибыли . Тогда картина выглядит так:

  • Месяц 0: Мы начали с 1 рубля (Синий)
  • Месяц 4: Синий родитель заработал 1/3 рубля сам, то есть родил Зеленого детеныша, равного 33 копейкам.
  • Месяц 8: Синий родитель заработал еще 33 копейки, его Зеленый детеныш, соответственно, на столько же подрос. За этот период Зеленый детеныш уже заработал свои 11 копеек (33% от 33 копеек). Эти 11 копеек становятся Красным внуком.
  • Месяц 12: Процесс становится еще интереснее. Синий родитель зарабатывает еще 33 копейки, и его Зеленый детеныш совсем повзрослев, став целым рублем. Зеленый и сам заработал 22 копейки за последние 4 месяца, поэтому его Красный ребенок весит уже 33 копейки. И Красный, будучи в возрасте 11 копеек в начале этого промежутка, заработал свои 4 копейки (33% от 11 копеек) – и это уже его Фиолетовый детёныш.

Фуух! Спустя 12 месяцев у нас получается: 1 + 1 + 0.33 + 0.04 или примерно 2.37 рубля.

Потратим еще чуть времени, чтобы понять, что на самом деле происходит с таким ростом:

  • Каждый цвет зарабатывает свой процент и «передает» его другому цвету. Заработанные деньги могут зарабатывать свои собственные прибыли, и этот цикл повторяется.
  • Мне нравится думать, что начальная сумма (Синий родитель) никогда не меняется. Синий вкладывает свои заработки в рождение Зеленого, 33 копейки каждые 4 месяца, а сам не растет. На графике синими стрелками показано, как Синий родитель кормит своего Зеленого малыша.
  • Зелёный родитель только что произвёл на свет красного (зелёные стрелки), но синий родитель про это не знает ни сном ни духом.
  • Сам Зеленый постоянно растет (на кормежке Синего родителя), вкладывая все больше и больше в свое Красное дитя. Между 4 и 8 месяцами Зеленый отдает 11 копеек Красному. Между 8 и 12 месяцем Зеленый дает 22 копейки Красному, так как сам он к 8 месяцу вырос до 66 копеек. Если бы мы удлинили нашу диаграмму, Зеленый бы отдал Красному 33 копейки, так как сам он к 12 месяцу подрос до целого рубля.

Теперь понятнее? Поначалу это сложно — я и сам запутался, пока рисовал все эти графики. Главное понять, что каждый «рубль» создает маленьких помощников, а те, в свою очередь, создают помощников себе, и так далее.

Если рассматривать год как 3 равных периода, формула роста будет такой:

рост = (1 + 100%/3)= 2.37037...

Мы заработали 1.37 рубля, а это даже лучше, чем те 1.25, что получились у нас в предыдущий раз!

 

Можно ли преумножать деньги бесконечно?

А почему бы не разбить год на более короткие периоды? Как насчет месяца, дня, часа или даже наносекунды? Наша прибыль взлетит до небес?

Прибыль увеличится, но уже не намного. Попробуем подставить в нашу волшебную формулу  разные значения n, и получим следующее:

 

n          (1 + 1/n)^n
------------------
1          2
2          2.25
3          2.37
5          2.488
10         2.5937
100        2.7048
1,000      2.7169
10,000     2.71814
100,000    2.718268
1,000,000  2.7182804
...

 

Результаты растут и сходятся к числу 2.718. Так… подождите… да это же число е!

Ух ты! Если выражаться заумными математическими терминами, число е определяется как коэффициент роста при непрерывном делении 100% прибыли на меньшие и меньшие периоды:

 рост = число e = lim n (1+1/n)n

Данный предел сходится к одной точке, и этому есть доказательства. Как вы видите, когда берем меньшие периоды, общая прибыль всегда остается около 2.718.

 

В этом примере всё удваивалось за определённый промежуток времени.

В следующей статье мы посмотрим на другие различные показатели экпоненциального роста, а не только удвоение. Оставайтесь на нашей волне.

Продолжение


Подпишись на видео-курс

Лого курса

«Экспонента и число е»

Как выжить в зомби-апокалипсисе