В прошлой статье "Экспонента и число е: деньги как пример" мы рассмотрели ситуацию, когда ваши деньги растут экспоненциально и удваиваются за определённый промежуток времени.
Теперь давайте разберёмся, как от этого меняется наше понимание сути числа е, а также что делать с системами, которые растут экспоненциально, но не удваиваются, а имеют другой коэффициент роста.
И что все это значит?
Число е (2.718) — это максимально возможный результат при распределении 100% роста в течение одного периода времени. Конечно, начали мы, ожидая рост с 1 до 2 (это и есть 100% увеличение, правда?). Но с каждым крошечным шажком вперед, мы получаем маленькие «дивиденды», которые начинают сами по себе расти. Когда все сказано и сделано, в конце 1 периода времени мы получили е (2.718…), а не 2. Число е — это максимум, который случается при разбиении 100% на самые мелкие промежутки.
Так, если мы начнем с 1 рубля и разложим непрерывно 100% прироста, мы получим 1е. Если в качестве начальной суммы взять 2 рубля, в итоге получим 2е. Если мы начнем с 11.79 рублей, получим 11.79е.
Число е — это нечто вроде предела скорости (как "число с" — скорость света). Эта константа показывает, как быстро можно вырасти, используя непрерывный процесс. Вы можете не всегда достигать предела скорости, но это удобная точка сравнения: вы можете описать любой коэффициент роста с помощью этой универсальной константы.
(Отступление: будьте осторожны, отличайте понятие увеличения от понятия конечного результата. 1, становящаяся е (2.718…), увеличилась (коэффициент роста) на 171.8%. Число е, само по себе, является конечным результатом, который вы видите после того, как весь прирост зачислен (начальная сумма + прирост)).
А могут быть другие коэффициенты?
Хороший вопрос. Что если ежегодный рост составляет 50%, а не 100%? Можем ли мы по-прежнему использовать число е?
Давайте проверим. Коэффициент составного роста в 50% выглядит примерно так:
lim n→∞ (1 + 0.5/n)n
Хм… Что мы можем тут сделать? Помните, 50% — это общий процент дохода, а n — это количество периодов, на которые этот процент поделен для начисления (капитализации). Если мы выберем n=50, тогда наш рост будет поделен на 50 кусочков по 1%:
(1 + 0.50/50)50 = (1 + 0.01)50
Это, конечно, не бесконечность, но все равно достаточно детализированный пример. А теперь представьте, что мы также поделили наш «обычный» рост в 100% на 1% кусочки:
число e ≈ (1 + 1.00/100)100 = (1 + 0.01)100
Ну вот, что-то уже проглядывается. В нашем привычном случае у нас получается 100 нарастающих изменений, величиной 1% каждое. В случае с 50%, у нас 50 нарастающих изменений по 1% каждое.
Какая разница между двумя этими числами? По сути, в случай с 50% равен половине случая со 100%:
(1 + 0.01)50 = (1 + 0.01)100/2 = ((1 + 0.01)100 )1/2 = e1/2
Это очень интересно. 50/100 = 0.5, что является показателем степени, в которую мы возводим е. Это общий принцип: если бы наш процент роста был 300%, мы бы могли разделить его на 300 кусочков по 1%. И в итоге мы бы получили результат, равный е3.
При том, что рост выглядит как простое прибавление (+1%), нужно помнить, что на самом деле это умножение (× 1.01). Вот почему мы используем степени (повторяющееся умножение) и квадратные корни (е^1/2 означает «половину» количества изменений, т.е. половину числа умножений).
Хотя мы выбрали 1%, за коэффициент роста можно было принять меньшее число (0.1%, 0.0001%, или даже бесконечно маленькое число!). Суть в том, что какой бы коэффициент мы не выбрали, он будет просто означать новую степень для е:
рост = eкоэффициент
А что по поводу других периодов времени?
Предположим, мы вырастем на 300% в течение 2 лет. Мы умножаем ежегодный прирост (е3) на самого себя:
рост = (e3)2 = e6
И в общем виде:
рост = ( eприрост ) время = eприрост × время
Магия степеней позволяет избегать двойного возведения. Мы просто умножаем коэффициент на время, и возводим число е в получившуюся степень.
По секрету: число е объединяет прирост и время
Это удивительно! еx может значить две вещи:
- х — количество умножений коэффициента роста: 100% рост на 3 года составит е3
- х — это коэффициент роста сам по себе: 300% рост за 1 год составит е3.
Не натворит ли это открытие дел? Не сломается ли наша формула, не наступит ли конец света?
Нет, все будет в порядке. Когда мы пишем:
eх
переменная х являет собой комбинацию коэффициента роста и времени.
x = прирост × время
Позвольте мне объяснить. В ситуации с непрерывным составным ростом, 10 лет с 3% приростом дадут такой же результат, как 1 год с 30% ростом (без последующего роста).
- 10 лет 3% роста будут означать, что сумма изменится 30 раз на 1 процент. Эти изменения происходят каждые 10 лет, так что каждый год сумма возрастает на 3%.
- 1 период с 30% ростом означает также 30 раз по 1%, но происходит это все за 1 год. Так что общий прирост составляет 30% и на этом прекращается.
В любом случае происходит 30 приростов по 1%. Чем выше коэффициент (30%), тем меньше времени понадобится, чтобы дорасти до того же объема прибыли (1 год). Чем коэффициент меньше (3%), тем дольше придется расти (10 лет).
Но в обоих случаях, рост составит е0.30 = 1.35 в итоге. Из-за нехватки терпения мы предпочитаем более высокий и быстрый рост медленному и длительному, но число е показывает, что эффект одинаков в обоих случаях.
Вот такая у нас получается общая формула:
рост = ex = eприрост × время
Если за период В мы получим прирост П, наш общий составной рост будет равен епв. Между прочим, это также работает для отрицательных и дробных приростов.
В следующей статье мы рассмотрим экспоненциальный рост и число е на реальных примерах: рост кристаллов, максимальная банковская ставка, скорость радиоактивного распада.
