Перевод большой статьи "An Intuitive Guide To Exponential Functions & e"
Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?
Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:
Математическая константа е является основанием натурального логарифма.
Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:
Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.
Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).
С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!
Число е – это не просто число
Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.
Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).
Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.
Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.
Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).
Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.
Понятие экспоненциального роста
Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:
- Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
- Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
- Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)
И выглядит это примерно так:
Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.
Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:
рост = 2x
Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:
рост = (1+100%)x
Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?
Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:
рост = (1+прирост)x
Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.
Приглядимся поближе
Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.
Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:
Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.
Эта информация как-то изменит наше уравнение?
Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.
В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.
